![[info]](http://p-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif){kind=small}
For The Record - следующий дебильный вопрос про вселенную
Mar. 14th, 2008
08:17 am - следующий дебильный вопрос про вселенную
Я знаю, я упал со стола, но я стукнулся не головой вроде бы, так что продолжаю задавать нелепейшие вопросы.
Вот в Википедии пишут что вселенной 13 миллиардов лет. Отлично. В следующем предложении пишут что её диаметр 93 миллиарда световых лет. Тут съезжает крыша. Как это? Можно объяснить тормозу на пальцах? "Stated simply, space can expand with no intrinsic limit on its rate; thus, two galaxies can separate more quickly than the speed of light if the space between them grows." - интересно, вот сидим мы в одной галактике, другая убегает со скоростью выше скорости света. Какое будет красное смешение?
Апдейт. То что мы видим - это свет максимум 13 миллиардолетней давности; тем временем вселенная порядочно поразъехалась, и сейчас... Стоп. Что за "сейчас"? Опять непонятно.
И это, конечно, не отвечает на вопрос, какова же форма вселенной. Что именно расширяется?
"Euclidean geometry is accurate on the average throughout the universe." - fine; а что тогда расширяется? ;)
"The hypothesis that the large-scale universe is homogeneous and isotropic is known as the cosmological principle,[18] which is supported by astronomical observations." - я не возражаю насчёт изотропности, в конце концов на ней держатся физические законы; но если она однородна, то, хм, почему ж она одновременно конечна и, в целом, эвклидова?
А, вот: 
Ага, и коэффициенты неизвестны. Так что форма вселенной неизвестна. Было бы, правда, странно, если бы она могла изменяться - всё-таки предполагается непрерывность, а?
Это я всё отсюда надыбал.
Грустно ещё что совершенно невозможно оценить уровень собственного невежества - скажем, можно ли чему-то выучиться чтобы понять хоть что-то?
Сам этим вопросом задаюсь в последнее время, причем все чаще и чаще.... Ответа пока не нашел, хотя хочется надеятся на лучшее :)
Есть и другая гипотеза, что вселенная замкнута наподобие тора, и видимые "очень удалённые" объекты -- это ближайшие объекты, только очень давно. Но там с видимой кривизной пространства не сходится -- оно вроде слишком плоское.
10.
В игольчатых чумных бокалах
Мы пьем наважденье причин,
Касаемся крючьями малых,
Как легкая смерть, величин.
И там, где сцепились бирюльки,
Ребенок молчанье хранит,
Большая вселенная в люльке
У маленькой вечности спит.
11.
И я выхожу из пространства
В запущенный сад величин
И мнимое рву постоянство
И самосознанье причин.
И твой, бесконечность, учебник
Читаю один, без людей, -
Безлиственный, дикий лечебник,
Задачник огромных корней.
Подумал "к чему бы?", а щас вот этот ваш постинг.
Ага, думаю. Всё правильно.
а еще мне непонятно
Тут имеется нестыковочка: если ничего кроме шара нет, то либо вы имеете в виду открытый шар (и тогда нарушается компактность, да что там компактность, даже полнота!), либо замкнутый шар (тогда есть граница!). То есть попросту говоря кроме шара точно что-то есть. Сфера и шар это две большие разницы ведь.
Давайте будем считать, что мы живём в трёхмерном гладком многообразии, про «чёрные дыры» думать не будем, ну их... Кроме того не будем думать про две аксиомы многообразий (кроме локальной эвклидовости), про которые все забывают :-)
Насчёт ограниченности мира --- откуда собственно это известно? Это вроде сравнительно недавнее открытие, которое начисто противоречит тому, что можно подумать глядя безоблачной ночью в небо :-)
Границ конечно нет (нигде кроме плоского мира Прачета), да и полнота вроде есть, так что компактность следеует из ограниченности+полноты.
Изотропность+однородность означают вместе, что наше пространство имеет постоянную кривизну К. Что из этого следует? Что его геометрия берётся из сферы (К положительно), гиперболического пр-ва (К отрицательно) или эвклидова пространства (К=0). Дальше, вроде принято считать (надо у астрономов спросить почему, наверное они в телескоп это видят), что наш мир не имеет фундаментальной группы. В таком случае из трёх возможностей остаётся лишь первая, так как остальные две не компактны (тут опять всё упирается в ограниченность). Заметьте, что это очень важно, что нет фундаментальной группы, иначе могло бы всё действительно оказаться тором или вовсе бутылкой Кляйна: проехался разок по кольцевой линии метро и фигак --- левшой оказался, а у машины руль не с той стороны. Не мир, а мечта писателя-фантаста. Или того хуже --- отрицательная кривизна, мечта торговца недвижимостью (площадь земельного участка экспоненциально от его радиуса растёт)
То есть получается так, если считать, что действительно имеется изотропность и однородность, а полнота следует из общих соображений, то сферичность мира объясняется ограниченностью+односвязностью.
Но тут дело такое --- никакой однородности-то нет, это, если мне память не изменяет, установил Эйнштейн путём наблюдения в телескоп звёздочки, находящейся около солнышка во время полного затмения: оказалось, что свет (который по геодезической распространяется) отклоняется от притяжения солнца. (Затмение было нужно лишь для того, чтоб солнце не мешало смотреть в трубу, сейчас это не нужно --- достаточно полететь в космос и прикрыть солнце варежкой скафандра)
Но и без однородности всё ништяк --- гипотеза Пуанкаре говорит, что для сферичности (в топологическом смысле) достаточно компактности+односвязности.
Ну вот как-то так, надеюсь, что ничего не напутал :-)
Топологию?
Когда я говорил "шар", я имел в виду, конечно, обычный трёхмерный шар (да, открытый), доступный для наблюдений. Из удобного антропоморфного принципа ("все люди одинаковые", "вся вселенная одинакова") выводится что и за пределами видимого шара то же самое.
Но кривизна - это совсем другое дело. Положительная ли она, нулевая ли, отрицательная ли - это всё свойства внутренней метрики; для того чтобы бутылка Клейна была бутылой Клейна, ей кривизна не нужна; кривизна появляется когда мы её вкладываем в какое-то эвклидово пространство, нет разве? А так онеа вполне может быть локално плоской.
Что ещё за две аксиомы? Мошность? Отделимость?
Про шары: если у каждого человека (и пусть даже вообще у каждой точки, по принципу «повсюду одинаковая фигня») есть открытый шар данного радиуса, то это означает локальную эвклидовость, не более того (ну и плюс оценку снизу на радиус инъективности). Но если мы предположим ещё что-нибудь о кривизне, то можно действительно делать какие-то выводы о том, как пространство выглядит «в общем и целом», см. ниже.
«кривизна появляется когда мы её вкладываем в какое-то эвклидово пространство, нет разве?»
Нет, гауссова кривизна 2-мерных римановых многообразий (и соответственно, секционные кривизны 3- и более-мерных) является его внутренним свойством, и от вложения куда бы то ни было никак не зависит (для 1-мерных это не так, о их кривизне можно говорить только в связи с конкретным вложением, сами по себе 1-мерные пространства «прямые»). Секционная кривизна это такое число, зависящее от точки прострнства и «2-мерного» направления в этой точке (если многообразие само двумерно, то соответственно «2-мерное направление» лишь одно, и для этой единственной кривизны есть название «гауссова»).
Сейчас объясню на примере с бутылкой, заодно и про связь кривизны (локального свойства) и глобального мироустройства. Представьте себе двумерное компактное риманово многообразие, на котором живут двумерные маленькие математики, соответственно они ничего не могут знать о том, как ихнее многообразие вложено в R^3, и вложено ли оно куда-то вообще. Государственная церковь объявила догмой утверждение: «мир представляет собой тор». Потом один чувак построил корабль и поплыл в дальнюю страну Плоскоиндию, но приплыл обратно, причём в виде собственного зеркального отражения. Что делает церковь? Ну понятно, говорит, что мир таки бутылка Кляйна, и все довольны. Затем учёный Плоскогаусс делает кучу построений треугольников и замеров, показывающих, что кривизна (как внутреннее свойство, разумеется) мира равна +0.0000000000000001 (опять таки, подразумевая, что если на приусадебном участке Плоскогаусса она такова, то и по всему миру тоже одинакова). Что делать церкви? Может ли бутылка Кляйна иметь положительную кривизну? Оказывается не может: есть такая теорема Гаусса-Бонэ, которая говорит, что интеграл гауссовой кривизны по площади замкнутой поверхности равен эйлеровой характеристике этой поверхности с каким-то там коэффициентом (наверное 2пи). Таким образом, если бутылка Кляйна имеет постоянную кривизну, то это может быть только 0, так как эйлерова характеристика (чисто топологическое свойство) у неё, как и у тора ноль. Получается, что плоский мир это проективная плоскость (так как положительнная эйлерова характеристика только у неё и у сферы, но сфера ориентируема, и сколько по ней ни езди, не вывернешся наизнанку).
Многообразием размерности М называется топологическое пространство, удовлетворяющее трём требованиям: 1) каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную R^М, ну это понятно: называется «локальная эвклидовость»; 2) любые две точки имеют непересекающиеся окрестности, это называется «хаусдорфовость», без этого можно было бы взять две прямые и склеить по отрицательным числам, получившаяся «вилка» вполне себе локально-эвклидова размерности 1, но это не многообразие, а настоящее безобразие; 3) существует счётное семейство открытых подмножеств нашего пространства («счётная база топологии»), такое что всякое открытое подмножество является объединением элементов этого семейства, кажется это называется «вторая аксиома счётности», без этого свойства можно сконструировать прикольное пространство (связное, со свойствами 1,2 и М=1), называемое «длинная прямая имени Александрова (московского, не ленинградского)», от размышлений о свойствах которого слегка съезжает крыша :-)